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index a6c293d..2730b29 100644
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@@ -27,7 +27,7 @@ Nach **Church-Turing-*These***: Berechenbar $\implies$ Turing-Berechenbar
 
 - die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell.
 - $z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände}$ ist valide, **Akzeptieren $\neq$ Halten**
-- Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, kann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
+- Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, Band kann dann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
 - Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$ , also Undefiniert**
 - Ausgabe steht meist auf Band, `bool` können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden
 - $\delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge})$ (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO)
@@ -53,10 +53,10 @@ Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv
 
 Syntax:
 
-- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$ , d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
+- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$, NOTE 2: $4-6=0$ , d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
 - $P_1 ; P_2$
 - $\text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}$
-- no $\text{IF}$
+- es gibt erstmal kein $\text{IF}$
 
 jedes LOOP-programm berechnet eine **totale** funktion, d.h. es gibt kein $\perp$ (LOOP $\implies$ total)
 
@@ -81,17 +81,18 @@ Definition:
   + wobei man nur $g$ und $h$ selbst wählen kann, nicht deren Argumente (die sind gegeben wie oben, man kriegt *nur* den
     rekursiven Wert für $r(a-1,b,c)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden)
   + wobei $g$ und $h$ Primitiv Rekursiv sein müssen
-  + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c)$ , wobei nur *ein* $+1$ , und auch *nur* $+1$ , erlaubt ist
+  + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c) = \dots$ , wobei nur *ein* $+1$ , und auch *nur* $+1$ , erlaubt ist
   + Beispiel: $add(0, x) = x, \quad add(y+1, x) = succ(add(y,x))$ ist als PR: $g(x) \; : \; g = id, \quad h(add(y,x), y, x) \; : \; h = succ \circ id_1$
 
 ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM
 
 ## µ-Rekursiv
 
-Zusatz zur Definition der Primitiv Rekursiven Funktionen:
+Definition wie die der Primitiv Rekursiven Funktionen, aber zusätzlich der $\mu$ Operator:
 
 $\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$ , \
-d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$ , dann return $n$ , sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$ , dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
+d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$ , dann return $n$ , sonst keep searching. \
+If $f(n, \dots) \neq 0$ oder $f(n, \dots)$ vor einer $0$ undefiniert ( $\perp$ ), dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
 
 ## WHILE / GOTO
 
@@ -132,18 +133,20 @@ Entscheidbar $\iff$ Semi-Entscheidbar ( $x \in A \to 1, x \in \overline A \to 0$
 **→ $H$ ist nur Semi-Entscheidbar, nicht Entscheidbar**.
 
 Gleiches gilt laut **Satz von Rice** für *jegliche* nichttriviale Eigenschaft von Algorithmen (TMs),
-also jedes Entscheidungsproblem $\emptyset \subset A \subset \text{Alle möglichen Turingmaschinen}$ ist *unentscheidbar* (*kann* aber semi-entscheidbar sein).
+also jedes Entscheidungsproblem \
+$\emptyset \subset A \subset \text{Alle möglichen Turingmaschinen}$ \
+ist *unentscheidbar* (*kann* aber semi-entscheidbar sein).
 <small><small>(bezogen auf Algorithmen, ohne inputs)</small></small>
 
 ## Rekursiv Aufzählbar
 
-$A$ ist rekursiv aufzählbar, wenn eine totale, berechenbare, *surjektive* (ganz $A$ abgedeckt) Funktion $f : \mathbb N \to A$
+$A$ ist rekursiv aufzählbar, wenn eine totale, berechenbare, *surjektive* (ganz $A$ abgedeckt) Funktion $f : \mathbb N \to A$ existiert.
 
 ## Arithmetische Aussagen
 
-$WA$ = Wahre Arithmetische Aussagen
+WA = Wahre Arithmetische Aussagen
 
-$WA$ ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da $WA$ Überabzählbar Unendlich ist.
+WA ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da WA Überabzählbar Unendlich ist.
 
 # Reduktion $ \preceq $
 
@@ -170,8 +173,9 @@ Dabei gilt:
 
 # PCP und MPCP
 
-Not really gonna explain what PCP is.
-We add top to left string, bottom to right string, want them to be equal.
+Not really gonna explain what PCP is. \
+We add top to left string, bottom to right string, want them to be equal. \
+MPCP requires that we start with the first pair.
 
 PCP ist nur semi-entscheidbar.
 
@@ -215,4 +219,4 @@ Eine Polyzeit-Reduktion ist eine Reduktion, die in polynomieller Zeit berechnet
 
 # Credits an Matthias
 
-![credits an matthias](complexity.jpeg)
\ No newline at end of file
+![credits an matthias](complexity.jpeg)