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@@ -145,7 +145,7 @@ $WA$ = Wahre Arithmetische Aussagen
 
 $WA$ ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da $WA$ Überabzählbar Unendlich ist.
 
-# Reduktion
+# Reduktion $ \preceq $
 
 Seien $A, B \subseteq U$ zwei Entscheidungsprobleme.
 
@@ -185,14 +185,34 @@ Mögliche Lösungen: 23, 2413, 2323, 232413, $\dots$
 
 **NP** ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer *nicht-deterministischen* Turing-Maschine entscheidbaren Probleme.
 
-## NP-Hart
+Es gilt $P \subseteq NP$, $P = NP$ ist nicht gezeigt <small>\<insert $n=1 \lor p=0$ joke here\></small>
 
-Mind. so schwer wie alle Probleme in NP
+**NP-Hart**: Mind. so schwer wie alle Probleme in NP \
+**NP-Vollständig**: Ein Problem ist NP-Vollständig, wenn es NP-Hart ist und in NP liegt
 
-## NP-Vollständig
+```
++———————————————————+
+|         +—————+   |
+|   NP    |  P  |   |
+|         +—————+   |
+|                   |
+|  +————————————————+—————————+
+|  | NP-Vollständig |         |
++——+————————————————+ NP-Hart |
+  .|                          |
+  .+——————————————————————————+
+```
 
-Ein Problem ist NP-Vollständig, wenn es NP-Hart ist und in NP liegt.
-
-SAT ist NP-Vollständig.
+- SAT ist NP-Vollständig
 
 ## Polyzeit-Reduktion ( $\preceq_p$ )
+
+Eine Polyzeit-Reduktion ist eine Reduktion, die in polynomieller Zeit berechnet werden kann. \
+<small>(Polyzeit-Reduktion ist für Aufwand/Laufzeit, normale Reduktion ist für Entscheidbarkeit)</small>
+
+- Wenn $A \preceq_p B$ und $B \in \text{NP}$, dann liegt $A$ auch in $\text{NP}$
+- Wenn $C \preceq_p A$ und $C$ NP-Hart, dann ist $A$ NP-Hart
+
+# Credits an Matthias
+
+![credits an matthias](complexity.jpeg)
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