From de1801cc1f3a824ecb9a4ca4e7b47a14f5bde7da Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: mark Date: Tue, 29 Jul 2025 16:59:16 +0200 Subject: [PATCH] entscheidungsprobleme, reduktion, pcp --- 00.md | 109 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 98 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/00.md b/00.md index 66dc450..e9b85dd 100644 --- a/00.md +++ b/00.md @@ -28,7 +28,7 @@ Nach **Church-Turing-*These***: Berechenbar $\implies$ Turing-Berechenbar - die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell. - $z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände}$ ist valide, **Akzeptieren $\neq$ Halten** - Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, kann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden -- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$, also Undefiniert** +- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$ , also Undefiniert** - Ausgabe steht meist auf Band, `bool` können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden - $\delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge})$ (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO) @@ -53,7 +53,7 @@ Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv Syntax: -- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$, d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**) +- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$ , d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**) - $P_1 ; P_2$ - $\text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}$ - no $\text{IF}$ @@ -75,13 +75,13 @@ Definition: - Projektionen $id(n) = n, id_1(n,m) = n, id_2(n,m) = m, \dots$ - Kompositionen $f(a, g(b))$ (ohne rekursion) + PR-Aufgebaute Funktionen $f(a, b, c) = g(i(a), j(b))$ -- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, z.B.: $r(a, b, c) = r(a-1, b, c)$ (für $a > 0$) +- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, z.B.: $r(a, b, c) = r(a-1, b, c)$ (für $a > 0$ ) + Dabei gibt es **einen** Basisfall $r(0, b, c) = g(b, c)$ für $a = 0$ - + und **einen** Rekursionsfall $r(a+1,b,c) = h(r(a, b, c), a, b, c)$, + + und **einen** Rekursionsfall $r(a+1,b,c) = h(r(a, b, c), a, b, c)$ , + wobei man nur $g$ und $h$ selbst wählen kann, nicht deren Argumente (die sind gegeben wie oben, man kriegt *nur* den - rekursiven Wert für $r(a-1,b,c$)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden) + rekursiven Wert für $r(a-1,b,c)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden) + wobei $g$ und $h$ Primitiv Rekursiv sein müssen - + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c)$, wobei nur *ein* $+1$, und auch *nur* $+1$, erlaubt ist + + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c)$ , wobei nur *ein* $+1$ , und auch *nur* $+1$ , erlaubt ist + Beispiel: $add(0, x) = x, \quad add(y+1, x) = succ(add(y,x))$ ist als PR: $g(x) \; : \; g = id, \quad h(add(y,x), y, x) \; : \; h = succ \circ id_1$ ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM @@ -90,16 +90,16 @@ ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM Zusatz zur Definition der Primitiv Rekursiven Funktionen: -$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$, \ -d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$, dann return $n$, sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$, dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$ +$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$ , \ +d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$ , dann return $n$ , sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$ , dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$ ## WHILE / GOTO WHILE ist wie LOOP, aber statt LOOP -mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$. +mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$ . GOTO ist wie LOOP, aber statt LOOP -mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$, und der Stopanweisung $\text{HALT}$. +mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$ , und der Stopanweisung $\text{HALT}$ . Man kann jedes WHILE-Programm mit in eines mit nur *einem* WHILE-Loop umschreiben, \ und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben. @@ -108,4 +108,91 @@ und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben. ## Universelle TM -Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können +Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können. + +Das geht mit nur Primitiver Rekursion (z.B. LOOP) **nicht**! + +# Entscheidungsprobleme + +$\exists A, \overline A \in U$ und $x \in U$ . +Frage: $x \in A$ ? (Wenn nicht, dann $x \in \overline A$ ). + +- Ist $n \in \mathbb N$ gerade? ( $\text{EVEN} \subseteq \mathbb N$ ) +- Ist die aussagenlogische Formel $F$ erfüllbar? ( $\text{SAT} \subseteq$ Menge aller aussagenlogischen Formeln) +- Halteproblem $H$ : Hält die TM auf der Eingabe $x$ ? ( $H \subseteq$ Menge aller TMs und ihrer Eingaben) + + Halteproblem auf dem leeren Band $H_0$ , wie oben nur mit $x =$ leeres Band (ist auch nur semi-entscheidbar) + +## Entscheidbarkeit + +Problem $P$ ist entscheidbar $\iff$ die Charakteristische Funktion $f$ existiert und ist berechenbar, +mit $f = \begin{cases} 1, & x \in A, 0, & x \in \overline A \end{cases}$ + +Entscheidbar $\iff$ Semi-Entscheidbar ( $x \in A \to 1, x \in \overline A \to 0$ oder $\perp$ ) und Co-Semi-Entscheidbar ( $x \in \overline A \to 0, x \in A \to 1$ oder $\perp$ ) + +**→ $H$ ist nur Semi-Entscheidbar, nicht Entscheidbar**. + +Gleiches gilt laut **Satz von Rice** für *jegliche* nichttriviale Eigenschaft von Algorithmen (TMs), +also jedes Entscheidungsproblem $\emptyset \subset A \subset \text{Alle möglichen Turingmaschinen}$ ist *unentscheidbar* (*kann* aber semi-entscheidbar sein). +(bezogen auf Algorithmen, ohne inputs) + +## Rekursiv Aufzählbar + +$A$ ist rekursiv aufzählbar, wenn eine totale, berechenbare, *surjektive* (ganz $A$ abgedeckt) Funktion $f : \mathbb N \to A$ + +## Arithmetische Aussagen + +$WA$ = Wahre Arithmetische Aussagen + +$WA$ ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da $WA$ Überabzählbar Unendlich ist. + +# Reduktion + +Seien $A, B \subseteq U$ zwei Entscheidungsprobleme. + +Es ist $A$ auf $B$ reduzierbar, d.h. $A \preceq B$ , falls es eine Reduktion gibt: + +Eine Reduktion ist eine totale, berechenbare Funktion $f : U \to U$ , sodass $x \in A \iff f(x) \in B$ + +Falls $A \preceq B$ und $B$ entscheidbar (bzw. (co-)semi-entscheidbar), dann gilt das auch für $A$ . + +$\to$ Wir reduzieren $A$ auf $B$ , $A \preceq B$ , und nehmen dann (mind.) die Entscheidbarkeit von $B$ auch für $A$ an. + +Dabei gilt: + +- $A$ entscheidbar $\iff$ $A$ semi- und co-semi-entscheidbar +- $A$ semi-entscheidbar $\iff$ $\overline A$ co-semi-entscheidbar +- aus $A \preceq B$ folgt: + + $A$ entscheidbar $\Leftarrow$ B entscheidbar + + und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar + + $A$ unentscheidbar $\implies$ B unentscheidbar + + und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar +- $A \preceq B \land B \preceq C \implies A \preceq C$ + +# PCP und MPCP + +Not really gonna explain what PCP is. +We add top to left string, bottom to right string, want them to be equal. + +PCP ist nur semi-entscheidbar. + +Beispiel: $\begin{pmatrix} \text{aa} \\ \text{b} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{bb} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{ba} \\ \text{a} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{aa} \end{pmatrix}$ + +Mögliche Lösungen: 23, 2413, 2323, 232413, $\dots$ + +# P und NP + +**P** (Polynomiell) ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer (deterministischen) Turing-Maschine entscheidbaren Probleme. + +**NP** ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer *nicht-deterministischen* Turing-Maschine entscheidbaren Probleme. + +## NP-Hart + +Mind. so schwer wie alle Probleme in NP + +## NP-Vollständig + +Ein Problem ist NP-Vollständig, wenn es NP-Hart ist und in NP liegt. + +SAT ist NP-Vollständig. + +## Polyzeit-Reduktion ( $\preceq_p$ )