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+# Aussagenlogik
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+## Aussagenlogische Formeln (Syntax)
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+- $A_1, A_2, \dots$ bzw. $A, B, C$ : atomare Formeln
+- $0$, $1$ : Boolesche Konstanten
+- $\lnot F$ : Negation von $F$
+- $(F \land G)$ : Konjunktion
+- $(F \lor G)$ : Disjunktion
+- $(F \to G)$ : entspricht $(\lnot F \lor G)$
+- $(F \leftrightarrow G)$ : entspricht $((F \land G) \lor (\lnot F \land \lnot G))$
+- $(\bigvee_{i=1}^n F_i)$ : entspricht $((F_1 \lor F_2) \lor F_3) \dots$
+- $(\bigwedge_{i=1}^n F_i)$ : entspricht $((F_1 \land F_2) \land F_3) \dots$
+
+Klammern weglassen: $\land$ bindet stärker als $\lor$, also $a \land b \lor c \iff (a \land b) \lor c$
+
+## Belegung (Semantik)
+
+Eine Belegung $\mathcal A$ legt für jede atomare Formel ($A_1, A_2, \dots, B, C, \dots$) einen Wahrheitswert, z.B. $\mathcal A(A_1) = 0$, fest.
+
+Außerdem: $\mathcal A(F)$ ist der Wahrheitswert der Formel $F$ unter der Belegung $\mathcal A$, d.h.
+der Wahrheitswert der Formel $F$, wenn alle atomaren Formeln, z.B. $A_1, \dots, A_n$, als $\mathcal A(A_1), \dots, \mathcal A(A_n)$ gedeutet werden.
+
+In diesen Definitionen wird dann die Semantik festgelegt:
+$\land$ ist das *Und*, $\lor$ ist das *Oder*, und $\lnot$ ist die *Negation*.
+
+## Definitionen
+
+Falls eine Belegung $\mathcal A$ für alle in einer Formel $F$ vorkommenden
+atomaren Formeln definiert ist, so heißt $\mathcal A$ zu $F$ **passend** (d.h. einfach: man kann $\mathcal A$ auf $F$ anwenden).
+
+Gilt $\mathcal A(F) = 1$, dann ist $\mathcal A$ ein **Modell** für $F$: $\mathcal A \; |= \; F$.
+
+Eine *Menge von Formeln* heißt erfüllbar, falls es eine Belegung $\mathcal A$ gibt, die für *jede* der Formeln ein Modell ist.
+
+Eine Formel $F$ heißt **gültig** oder **Tautologie** falls jede passende Belegung ein Modell für $F$ ist: $|= \; F$
+
+$F$ ist gültig genau dann, wenn $\lnot F$ unerfüllbar ist.
+
+Folgt $G$ logisch aus $F$ (**logische Folgerung**), $F \; |= \; G$, gilt $|= \; F \to G$
+
+Wenn es mindestens ein Modell für $F$ gibt, heißt $F$ **erfüllbar**, sonst **unerfüllbar**.
+
+## Erfüllbarkeit und Gültigkeit Prüfen
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+Man könnte "einfach" alle $2^n$ Belegungen ausprobieren.
+
+## Semantische Äquivalenz (Syntaktisch unterschiedlicher Formeln)
+
+Zwei Formeln $F$ und $G$ sind **semantisch äquivalent**, wenn sie unter
+jeder (passenden) Belegung denselben Wahrheitswert erhalten: $F \equiv G$
+
+Es gilt $F \equiv G$ genau dann, wenn $|= \; (F \leftrightarrow G)$ gilt.
+
+Semantische Äquivalenzen:
+
+- Idempotenz
+  + $F \land F \equiv F$
+  + $F \lor F \equiv F$
+- Kommutativität
+  + $F \land G \equiv G \land F$
+  + $F \lor G \equiv G \lor F$
+- Assoziativität
+  + $F \land (G \land H) \equiv (F \land G) \land H$
+  + $F \lor (G \lor H) \equiv (F \lor G) \lor H$
+- Distributivgesetz
+  + $F \land (G \lor H) \equiv (F \land G) \lor (F \land H)$
+  + $F \lor (G \land H) \equiv (F \lor G) \land (F \lor H)$
+- Absorptionsgesetze
+  + $F \land (F \lor G) \equiv F$
+  + $F \lor (F \land G) \equiv F$
+- deMorgan
+  + $\lnot (F \lor G) = \lnot F \land \lnot G$
+  + $\lnot (F \land G) = \lnot F \lor \lnot G$
+- Doppelnegation
+  + $\lnot \lnot F \equiv F$
+- Tautologie- und Unerfüllbarkeitsregeln
+  + $1 \lor G \equiv 1$
+  + $0 \lor G \equiv G$
+  + $1 \land G \equiv G$
+  + $0 \land G \equiv 0$
+  + statt 0 oder 1 auch tautologien oder unerfüllbare Formeln möglich
+
+## Konjunktive und Disjunktive Normalformen (KNF/DNF)
+
+Beispiels-KNF: \
+$F = (A \lor \lnot B) \land (\lnot C \lor \lnot A \lor D) \land (\lnot A \lor \lnot B) \land D \land \lnot E$
+
+Beispiels-DNF: \
+$F = (A \land \lnot B) \lor (\lnot C \land \lnot A \land D) \lor (\lnot A \land \lnot B) \lor D \lor \lnot E$
+
+Für jede Formel $F$ gibt es (mind.) eine äquivalente ($\equiv$) Formel in KNF und (mind.) eine in DNF.
+
+## Hornformeln
+
+Erfüllbarkeit mit beliebigen Formeln oder KNFs zu prüfen ist schwierig (NP),
+mit DNFs ist es aber einfach - DNFs herzustellen ist aber schwierig.
+
+Hornformeln sind eingeschränkte aussagenlogische Formeln,
+deren Erfüllbarkeit dafür aber leicht zu testen ist.
+
+Hornformeln sind Formeln $F$ in KNF, wobei jede Klausel in $F$
+höchstens ein positives Literal enthält:
+
+Hornklauseln: $A$, $\lnot A$, $\lnot A \lor B$, $\lnot A \lor B \lor \lnot C$, aber **nicht** $A \lor B$, $\lnot A \lor B \lor C$
+
+Hornformel: $A \land (\lnot A \lor B) \land \lnot C$
+
+(TODO?) Erfüllbarkeitstest für Hornformeln (Aussagenlogik2:21)
+
+## Resolution
+
+Mit Resolution kann eine Formel auf Unerfüllbarkeit getestet werden.
+
+Basierend nur auf Syntax wissen wir u.A.:
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+- $F \lor \lnot F \equiv 1$ und $F \land \lnot F \equiv 0$
+- Wenn $F$ und $F \to G$, dann auch $G$
+
+**Anwendung:**
+
+Sei $F$ eine Formel in KNF, also
+
+$F = (L{1,1} \lor \dots \lor L_{1,n_1}) \land \dots \land (L_{k,1} \lor \dots \lor L_{k,n_k})$
+
+Wir stellen die Formel als Mengen von Klauseln dar:
+
+$F = \{ \{ L_{1,1}, \dots, L_{1,n_1} \}, \dots, \{ L_{k,1}, \dots, L_{k,n_k} \} \}$
+
+Wenn es zwei Klauseln gibt, wovon eine ein Literal positiv und die andere dasselbe Literal negativ beinhaltet,
+wird $R$ aus den beiden Klauseln nach dem Literal resolviert:
+
+$K_1 = \{ A, \lnot B, C, D \}$ \
+$K_2 = \{ A, \lnot B, \lnot C \}$ \
+$\to \{ A, \lnot B, D } = R$
+
+Also $R = K_1$ ohne $C \; \cup \; K_2$ ohne $\lnot C$
+
+Wenn man irgendwie auf einen Resolvent $R = \{ \}$ kommt,
+ist die Formel widerlegt (Resolutionssatz der Aussagenlogik).
+
+# Prädikatenlogik
+
+Erweitert die Aussagenlogik mit
+
+- Quantoren $\exists, \forall$
+- Variablen $x_1, x_2, \dots$ oder $u, v, w, x, y, z$
+- Funktions- und Prädikatssymbole $f_1, f_2, \dots$ oder $f, g, h$
+- Konstanten (Funktionssymbole der Stelligkeit 0): $a_1, a_2, \dots$ oder $a, b, c$
+- Prädikatsybole: $P_1, P_2, \dots$ oder $P, Q, R$
+
+## Signatur
+
+$\Sigma = \{ a/0, f/3, P/2 \}$
+
+<small>Beinhaltet nicht die Variablen</small>
+
+$PL(\Sigma)$ ist die Menge aller prädikatenlogischen *Aussagen* über der Signatur $\Sigma$.
+
+## Prädikatenlogische Formeln
+
+### Terme
+
+- Variablen $x_1$
+- Funktionen $f(t_1, \dots, t_k)$ mit *Termen* $t_1, \dots, t_k$
+
+Terme, die keine Variablen enthalten, sind **Grundterme**.
+
+### Formeln
+
+- $P(t_1, \dots, t_k)$ mit *Termen* $t_1, \dots, t_k$ und Prädikatsymbol $P$ (Atomare Formeln)
+- Sonst wie bei Aussagenlogik mit $\lnot$, $\land$, $\lor$
+- $\exists x F$ und $\forall x F$ mit Variable $x$ und Formel $F$
+
+---
+
+Variablen sind *gebunden*, wenn sie mit $\exists$ oder $\forall$ verwendet werden, sonst *frei*.
+
+Eine Formel ohne Vorkommen einer freien Variable heißt *geschlossen* oder eine *Aussage*.
+
+## Matrix
+
+Die Matrix von $F$, also $F$ ohne $\exists$ und $\forall$, ist $F^*$:
+
+$F = \exists x \dots \land \lnot \forall y \dots$ \
+$F^* = \dots \land \lnot \dots$
+
+## Bereinigt
+
+Eine Formel ist bereinigt, wenn verschiedene Quantoren nicht dieselbe Variable binden:
+
+$\exists x \dots \land \forall x \dots \; \to \; \exists x \dots \land \forall y \dots$
+
+## Struktur $\mathcal A$
+
+Eine Struktur $\mathcal A$ zu einer Signatur $\Sigma$ ist ein Paar $(U_{\mathcal A}, I_{\mathcal A})$.
+
+$U_{\mathcal A}$ ist das Universum, $I_{\mathcal A}$ ordnet jedem Funktions-/Prädikatssymbol eine Funktion bzw. Relation (Menge) auf $U_{\mathcal A}$ zu.
+
+Wir schreiben $f^{\mathcal A}$ für $I_{\mathcal A}(f)$ bzw $P^{\mathcal A}$ für $I_{\mathcal A}(P)$.
+
+Eine Struktur ist **passend** zu einer Aussage, falls die Signatur passt (d.h. die in $F$ vorkommenden Funktions-/Prädikatssymbole Elemente von $\Sigma$ sind).
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+### Auswertung mit Variablen
+
+$\mathcal A [x/m]$ bedeutet, dass die Variable $x$ den Wert $m$ annimmt.
+
+## Modell, Erfüllbarkeit, Äquivalenz, \dots
+
+Eine Struktur $\mathcal A$ ist ein Modell für $F$ ($\mathcal A |= F$) wenn wahr (wie bei AL).
+
+Auch wie bei AL: Erfüllbarkeit, (allgemeine) Gültigkeit, Äquivalenz, Logische Folgerung. \
+Äquivalenzen aus der AL gelten auch in der PL.
+
+## Pränexform
+
+Alle Quantoren am Anfang, also z.B.
+$\exists x \forall y \exists z H$.
+
+Für jede Formel gibt es eine äquivalente (und bereinigte) Formel in Pränexform.
+
+Dazu: Formel bereinigen, dann Quantoren einfach rausziehen, sodass innere Quantoren nach äußeren stehen.
+
+## Skolemform
+
+Sei $F$ eine Formel in bereinigter Pränexform.
+Man erhält nun die Skolemform von $F$, indem man
+$\forall x_1 \dots \forall x_n \exists x_{n+1} G$ in $\forall x_1 \dots \forall x_n G [x_{n+1}/f(x_1,\dots,x_n)]$
+umwandelt, d.h. man je den **ersten** Existenzquantor $\exists$ entfernt und dessen Variable als Funktion der äußeren Variablen (aus davor stehenden $\forall$) schreibt.
+Diese Funktion $f$ kann auch nullstellig sein, also eine Konstante, z.B. $a$.
+
+Ist $F$ geschlossen, so gilt: $F$ ist genau dann erfüllbar, wenn die Skolemform von $F$ erfüllbar ist.
+
+$\to$ **Matrix der Skolemform in KNF als Klauselmenge, dann Resolution**
+
+## Herbrand-Universum
+
+Das Herbrand-Universum $D(F)$ einer geschlossenen Formel $F$ in Skolemform
+ist die Menge aller variablenfreien Terme, die aus den Bestandteilen von $F$
+gebildet werden können:
+
+- Alle Konstanten aus $F$ sind in $D(F)$
+- $f(t_1, \dots, t_n)$ ist in $D(F)$, mit $f \in F$ und $t_1, \dots, t_n$ \in $D(F)$
+
+## Herbrand-Struktur
+
+$(D(F), f^{\mathcal A} \mapsto f)$
+
+Wahl für $P$ etc ist noch offen.
+
+Mit Limitierung auf Herbrand-Strukturen immernoch **erfüllbarkeitsäquivalent**.
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+## Satz von Löwenheim-Skolem
+
+Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik besitzt bereits ein abzählbares Modell.
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+Da $\mathbb R$ überabzählbar, kann es in PL nicht formuliert werden.
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+## Herbrand-Expansion
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+Die Herbrand-Expansion $E(F)$ einer Formel $F = \forall \dots F^*$ in Skolemform
+ist die Menge aller möglichen Formeln $F^*[\dots][\dots]\dots[\dots]$ mit $\dots \in D(F)$.
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+$F$ unerfüllbar genau dann wenn eine endliche Teilmenge von $E(F)$ unerfüllbar ist.
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+$\to$ Unerfüllbarkeit ist semi-entscheidbar (Entscheidbarkeit damit co-semi-entscheidbar).
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+## Grundresolution
+
+Resolution wie bei AL, basierend auf Herbrand-Expansion