add 00 (notes from monday)

00.md

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+## Größenvergleiche zwischen Mengen
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+- $A \geq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ surjektiv }$
+- $A \leq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ injektiv }$
+- $A = B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ bijektiv }$
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+## Cantors Diagonalargument
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+## $\mathcal P(\mathbb N)$ ist überabzählbar, also $| \mathcal P(\mathbb N) | = | \mathbb R |$
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+# Berechenbarkeit
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+- Undefiniert (meist: hält nicht) = gibt keinen wert: $\perp$
+- Nicht Berechenbar = gibt einen Wert aber keinen weg dorthin, wir wissen halt z.B. dass $x \in B$
+- Partiell = mind. 1 eingabe undefiniert
+- Nicht Berechenbar = mind. für 1 Eingabe ist die Ausgabe nicht berechenbar
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+# Turingmaschine
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+Gerne zeiger auf startposition zurückstellen
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+**Turing-Berechenbar** $\implies$ Berechenbar
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+Nach **Church-Turing-*These***: Berechenbar $\implies$ Turing-Berechenbar
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+**TM-Definition** immer aufschreiben: Septupel $(\text{Zustandsmenge}, \text{Eingabealphabet}, \text{Arbeitsalphabet}, \delta \text{funktion}, z_0, \square, \text{Akzeptierende Zustände})$
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+- die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell.
+- $z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände}$ ist valide, **Akzeptieren $\neq$ Halten**
+- Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, kann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
+- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$, also Undefiniert**
+- Ausgabe steht meist auf Band, `bool` können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden
+- $\delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge})$ (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO)
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+## Konfiguration
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+- Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Elemente am und rechts vom Zeiger
+  + bzw: Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Zeigersymbol + Elemente rechts vom Zeiger
+  + ignoriere blanks links/rechts vom "letzten" non-blank
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+## Gleichmächtige TMs
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+- Zweiband mit 1 oder 2 Zeiger(n)
+- Nur Einseitig Unendlich
+- Always-Moving (nur L und R, kein N)
+- TM auf Eingabealphabet $\{ 0, 1 \}$
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+# Berechnungsmodelle
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+Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv
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+## LOOP
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+Syntax:
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+- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$, d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
+- $P_1 ; P_2$
+- $\text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}$
+- no $\text{IF}$
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+jedes LOOP-programm berechnet eine **totale** funktion, d.h. es gibt kein $\perp$ (LOOP $\implies$ total)
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+Konventionen:
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+- Variablen sind by default $0$
+- Eingaben sind $x_1, x_2, \dots$
+- Ausgabe ist $x_0$
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+## Primitiv Rekursiv
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+Definition:
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+- Nullfunktion $null(n) = 0$
+- Nachfolgerfunktion $succ(n) = n + 1$
+- Projektionen $id(n) = n, id_2(n,m) = m, \dots$
+- Kompositionen $f(a, g(b))$ (ohne rekursion)
+  + PR-Aufgebaute Funktionen $f(a, b, c) = g(i(a), j(b))$
+- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, aber **nur**: $f(a, b, c) = f(a-1, b, c)$ (für $a > 0$)
+  + Dabei gibt es Basisfall $g(b, c)$ für $a = 0$ und Rekursionsfall $h(f(a-1, b, c), a-1, b, c)$
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+ES IST SO SKUFFED DEFINIERT, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM
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+## µ-Rekursiv
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+Zusatz zur Definition der Primitiv Rekursiven Funktionen:
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+$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$, \
+d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$, dann return $n$, sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$, dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
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+## WHILE / GOTO
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+WHILE ist wie LOOP, aber statt LOOP
+mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$.
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+GOTO ist wie LOOP, aber statt LOOP
+mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$, und der Stopanweisung $\text{HALT}$.
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+Man kann jedes WHILE-Programm mit in eines mit nur *einem* WHILE-Loop umschreiben, \
+und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben.
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+µ-Rekursive (= WHILE/GOTO) Funktionen sind *nicht immer* total, können aber total sein.
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+## Universelle TM
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+Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können