buk_notes/00.md

Größenvergleiche zwischen Mengen

• A \geq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ surjektiv }
• A \leq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ injektiv }
• A = B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ bijektiv }

Cantors Diagonalargument

\mathcal P(\mathbb N) ist überabzählbar, also | \mathcal P(\mathbb N) | = | \mathbb R |

Berechenbarkeit

• Undefiniert (meist: hält nicht) = gibt keinen wert: \perp
• Nicht Berechenbar = gibt einen Wert aber keinen weg dorthin, wir wissen halt z.B. dass x \in B
• Partiell = mind. 1 eingabe undefiniert
• Nicht Berechenbar = mind. für 1 Eingabe ist die Ausgabe nicht berechenbar

Turingmaschine

Gerne zeiger auf startposition zurückstellen

Turing-Berechenbar \implies Berechenbar

Nach Church-Turing-These: Berechenbar \implies Turing-Berechenbar

TM-Definition immer aufschreiben: Septupel (\text{Zustandsmenge}, \text{Eingabealphabet}, \text{Arbeitsalphabet}, \delta \text{funktion}, z_0, \square, \text{Akzeptierende Zustände})

• die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell.
• z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände} ist valide, Akzeptieren \neq Halten
• Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, kann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
• Turing-Maschine hält gdw. \delta(\dots) = \perp, also Undefiniert
• Ausgabe steht meist auf Band, bool können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden
• \delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge}) (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO)

Konfiguration

• Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Elemente am und rechts vom Zeiger
  • bzw: Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Zeigersymbol + Elemente rechts vom Zeiger
  • ignoriere blanks links/rechts vom "letzten" non-blank

Gleichmächtige TMs

• Zweiband mit 1 oder 2 Zeiger(n)
• Nur Einseitig Unendlich
• Always-Moving (nur L und R, kein N)
• TM auf Eingabealphabet \{ 0, 1 \}

Berechnungsmodelle

Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv

LOOP

Syntax:

• x_i := x_j \{+,-\} c (NOTE: x_i := x_j + 0 4-6=0, d.h. saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO)
• P_1 ; P_2
• \text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}
• no \text{IF}

jedes LOOP-programm berechnet eine totale funktion, d.h. es gibt kein \perp (LOOP \implies total)

Konventionen:

• Variablen sind by default 0
• Eingaben sind x_1, x_2, \dots
• Ausgabe ist x_0

Primitiv Rekursiv

Definition:

• Nullfunktion null(n) = 0
• Nachfolgerfunktion succ(n) = n + 1
• Projektionen id(n) = n, id_2(n,m) = m, \dots
• Kompositionen f(a, g(b)) (ohne rekursion)
  • PR-Aufgebaute Funktionen f(a, b, c) = g(i(a), j(b))
• Rekursive Aufrufe sind möglich, aber nur: f(a, b, c) = f(a-1, b, c) (für a > 0)
  • Dabei gibt es Basisfall g(b, c) für a = 0 und Rekursionsfall h(f(a-1, b, c), a-1, b, c)

ES IST SO SKUFFED DEFINIERT, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM

µ-Rekursiv

Zusatz zur Definition der Primitiv Rekursiven Funktionen:

\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \},
d.h. probier alle n \in \mathbb N_0 in aufsteigender Reihenfolge bis f(n, \dots) = 0, dann return n, sonst keep searching. If f(n, \dots) \neq 0, dann ist \mu f (\dots) undefiniert, also \perp

WHILE / GOTO

WHILE ist wie LOOP, aber statt LOOP mit \text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}.

GOTO ist wie LOOP, aber statt LOOP mit Sprüngen \text{GOTO } M_i und \text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i, und der Stopanweisung \text{HALT}.

Man kann jedes WHILE-Programm mit in eines mit nur einem WHILE-Loop umschreiben,
und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem Rücksprung umschreiben.

µ-Rekursive (= WHILE/GOTO) Funktionen sind nicht immer total, können aber total sein.

Universelle TM

Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können