entscheidungsprobleme, reduktion, pcp

00.md

@@ -28,7 +28,7 @@ Nach **Church-Turing-*These***: Berechenbar $\implies$ Turing-Berechenbar
 - die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell.
 - $z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände}$ ist valide, **Akzeptieren $\neq$ Halten**
 - Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, kann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
-- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$, also Undefiniert**
+- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$ , also Undefiniert**
 - Ausgabe steht meist auf Band, `bool` können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden
 - $\delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge})$ (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO)
 
@@ -53,7 +53,7 @@ Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv
 
 Syntax:
 
-- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$, d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
+- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$ $4-6=0$ , d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
 - $P_1 ; P_2$
 - $\text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}$
 - no $\text{IF}$
@@ -75,13 +75,13 @@ Definition:
 - Projektionen $id(n) = n, id_1(n,m) = n, id_2(n,m) = m, \dots$
 - Kompositionen $f(a, g(b))$ (ohne rekursion)
   + PR-Aufgebaute Funktionen $f(a, b, c) = g(i(a), j(b))$
-- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, z.B.: $r(a, b, c) = r(a-1, b, c)$ (für $a > 0$)
+- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, z.B.: $r(a, b, c) = r(a-1, b, c)$ (für $a > 0$ )
   + Dabei gibt es **einen** Basisfall $r(0, b, c) = g(b, c)$ für $a = 0$
-  + und **einen** Rekursionsfall $r(a+1,b,c) = h(r(a, b, c), a, b, c)$,
+  + und **einen** Rekursionsfall $r(a+1,b,c) = h(r(a, b, c), a, b, c)$ ,
   + wobei man nur $g$ und $h$ selbst wählen kann, nicht deren Argumente (die sind gegeben wie oben, man kriegt *nur* den
-    rekursiven Wert für $r(a-1,b,c$)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden)
+    rekursiven Wert für $r(a-1,b,c)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden)
   + wobei $g$ und $h$ Primitiv Rekursiv sein müssen
-  + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c)$, wobei nur *ein* $+1$, und auch *nur* $+1$, erlaubt ist
+  + *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c)$ , wobei nur *ein* $+1$ , und auch *nur* $+1$ , erlaubt ist
   + Beispiel: $add(0, x) = x, \quad add(y+1, x) = succ(add(y,x))$ ist als PR: $g(x) \; : \; g = id, \quad h(add(y,x), y, x) \; : \; h = succ \circ id_1$
 
 ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM
@@ -90,16 +90,16 @@ ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM
 
 Zusatz zur Definition der Primitiv Rekursiven Funktionen:
 
-$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$, \
-d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$, dann return $n$, sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$, dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
+$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$ , \
+d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$ , dann return $n$ , sonst keep searching. If $f(n, \dots) \neq 0$ , dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
 
 ## WHILE / GOTO
 
 WHILE ist wie LOOP, aber statt LOOP
-mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$.
+mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$ .
 
 GOTO ist wie LOOP, aber statt LOOP
-mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$, und der Stopanweisung $\text{HALT}$.
+mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$ , und der Stopanweisung $\text{HALT}$ .
 
 Man kann jedes WHILE-Programm mit in eines mit nur *einem* WHILE-Loop umschreiben, \
 und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben.
@@ -108,4 +108,91 @@ und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben.
 
 ## Universelle TM
 
-Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können
+Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können.
+
+Das geht mit nur Primitiver Rekursion (z.B. LOOP) **nicht**!
+
+# Entscheidungsprobleme
+
+$\exists A, \overline A \in U$ und $x \in U$ .
+Frage: $x \in A$ ? (Wenn nicht, dann $x \in \overline A$ ).
+
+- Ist $n \in \mathbb N$ gerade? ( $\text{EVEN} \subseteq \mathbb N$ )
+- Ist die aussagenlogische Formel $F$ erfüllbar? ( $\text{SAT} \subseteq$ Menge aller aussagenlogischen Formeln)
+- Halteproblem $H$ : Hält die TM auf der Eingabe $x$ ? ( $H \subseteq$ Menge aller TMs und ihrer Eingaben)
+  + Halteproblem auf dem leeren Band $H_0$ , wie oben nur mit $x =$ leeres Band (ist auch nur semi-entscheidbar)
+
+## Entscheidbarkeit
+
+Problem $P$ ist entscheidbar $\iff$ die Charakteristische Funktion $f$ existiert und ist berechenbar,
+mit $f = \begin{cases} 1, & x \in A, 0, & x \in \overline A \end{cases}$
+
+Entscheidbar $\iff$ Semi-Entscheidbar ( $x \in A \to 1, x \in \overline A \to 0$ oder $\perp$ ) und Co-Semi-Entscheidbar ( $x \in \overline A \to 0, x \in A \to 1$ oder $\perp$ )
+
+**→ $H$ ist nur Semi-Entscheidbar, nicht Entscheidbar**.
+
+Gleiches gilt laut **Satz von Rice** für *jegliche* nichttriviale Eigenschaft von Algorithmen (TMs),
+also jedes Entscheidungsproblem $\emptyset \subset A \subset \text{Alle möglichen Turingmaschinen}$ ist *unentscheidbar* (*kann* aber semi-entscheidbar sein).
+<small><small>(bezogen auf Algorithmen, ohne inputs)</small></small>
+
+## Rekursiv Aufzählbar
+
+$A$ ist rekursiv aufzählbar, wenn eine totale, berechenbare, *surjektive* (ganz $A$ abgedeckt) Funktion $f : \mathbb N \to A$
+
+## Arithmetische Aussagen
+
+$WA$ = Wahre Arithmetische Aussagen
+
+$WA$ ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da $WA$ Überabzählbar Unendlich ist.
+
+# Reduktion
+
+Seien $A, B \subseteq U$ zwei Entscheidungsprobleme.
+
+Es ist $A$ auf $B$ reduzierbar, d.h. $A \preceq B$ , falls es eine Reduktion gibt:
+
+Eine Reduktion ist eine totale, berechenbare Funktion $f : U \to U$ , sodass $x \in A \iff f(x) \in B$
+
+Falls $A \preceq B$ und $B$ entscheidbar (bzw. (co-)semi-entscheidbar), dann gilt das auch für $A$ .
+
+$\to$ Wir reduzieren $A$ auf $B$ , $A \preceq B$ , und nehmen dann (mind.) die Entscheidbarkeit von $B$ auch für $A$ an.
+
+Dabei gilt:
+
+- $A$ entscheidbar $\iff$ $A$ semi- und co-semi-entscheidbar
+- $A$ semi-entscheidbar $\iff$ $\overline A$ co-semi-entscheidbar
+- aus $A \preceq B$ folgt:
+  + $A$ entscheidbar $\Leftarrow$ B entscheidbar
+    + und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar
+  + $A$ unentscheidbar $\implies$ B unentscheidbar
+    + und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar
+- $A \preceq B \land B \preceq C \implies A \preceq C$
+
+# PCP und MPCP
+
+Not really gonna explain what PCP is.
+We add top to left string, bottom to right string, want them to be equal.
+
+PCP ist nur semi-entscheidbar.
+
+Beispiel: $\begin{pmatrix} \text{aa} \\ \text{b} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{bb} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{ba} \\ \text{a} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{aa} \end{pmatrix}$
+
+Mögliche Lösungen: 23, 2413, 2323, 232413, $\dots$
+
+# P und NP
+
+**P** (Polynomiell) ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer (deterministischen) Turing-Maschine entscheidbaren Probleme.
+
+**NP** ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer *nicht-deterministischen* Turing-Maschine entscheidbaren Probleme.
+
+## NP-Hart
+
+Mind. so schwer wie alle Probleme in NP
+
+## NP-Vollständig
+
+Ein Problem ist NP-Vollständig, wenn es NP-Hart ist und in NP liegt.
+
+SAT ist NP-Vollständig.
+
+## Polyzeit-Reduktion ( $\preceq_p$ )