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## Größenvergleiche zwischen Mengen
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- $A \geq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ surjektiv }$
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- $A \leq B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ injektiv }$
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- $A = B \iff \exists f : A \to B \text{ mit } f \text{ bijektiv }$
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## Cantors Diagonalargument
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## $\mathcal P(\mathbb N)$ ist überabzählbar, also $| \mathcal P(\mathbb N) | = | \mathbb R |$
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# Berechenbarkeit
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- Undefiniert (meist: hält nicht) = gibt keinen wert: $\perp$
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- Nicht Berechenbar = gibt einen Wert aber keinen weg dorthin, wir wissen halt z.B. dass $x \in B$
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- Partiell = mind. 1 eingabe undefiniert
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- Nicht Berechenbar = mind. für 1 Eingabe ist die Ausgabe nicht berechenbar
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# Turingmaschine
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Gerne zeiger auf startposition zurückstellen
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**Turing-Berechenbar** $\implies$ Berechenbar
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Nach **Church-Turing-*These***: Berechenbar $\implies$ Turing-Berechenbar
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**TM-Definition** immer aufschreiben: Septupel $(\text{Zustandsmenge}, \text{Eingabealphabet}, \text{Arbeitsalphabet}, \delta \text{funktion}, z_0, \square, \text{Akzeptierende Zustände})$
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- die ersten 4 sind müde (EEEP) → 3× endlich, 4. ist partiell.
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- $z_0 \in \text{Akzeptierende Zustände}$ ist valide, **Akzeptieren $\neq$ Halten**
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- Anfangszustand des Bands besteht aus Eingabealphabet und Blanks, Band kann dann von TM auf ganzes Arbeitsalphabet erweitert werden
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- Turing-Maschine **hält gdw. $\delta(\dots) = \perp$ , also Undefiniert**
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- Ausgabe steht meist auf Band, `bool` können aber auch als "liegt letzter zustand in Akzeptierenden Zuständen?" dargestellt werden
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- $\delta : (\text{Zustandsmenge}, \text{Arbeitsalphabet}) \to (\text{Arbeitsalphabet}, \{ L, N, R \}, \text{Zustandsmenge})$ (Reihenfolge may be different, me didnt verify | TODO)
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## Konfiguration
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- Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Elemente am und rechts vom Zeiger
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+ bzw: Alphabets-Elemente links vom Zeiger + Aktueller Zustand + Zeigersymbol + Elemente rechts vom Zeiger
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+ ignoriere blanks links/rechts vom "letzten" non-blank
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## Gleichmächtige TMs
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- Zweiband mit 1 oder 2 Zeiger(n)
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- Nur Einseitig Unendlich
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- Always-Moving (nur L und R, kein N)
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- TM auf Eingabealphabet $\{ 0, 1 \}$
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# Berechnungsmodelle
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Primitiv-Rekursiv = LOOP < GOTO = WHILE = TM = µ-Rekursiv
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## LOOP
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Syntax:
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- $x_i := x_j \{+,-\} c$ (NOTE: $x_i := x_j + 0$, NOTE 2: $4-6=0$ , d.h. **saturating subtraction bei LOOP, WHILE, und GOTO**)
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- $P_1 ; P_2$
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- $\text{LOOP } x_i \text{ DO } P \text{ END}$
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- es gibt erstmal kein $\text{IF}$
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jedes LOOP-programm berechnet eine **totale** funktion, d.h. es gibt kein $\perp$ (LOOP $\implies$ total)
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Konventionen:
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- Variablen sind by default $0$
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- Eingaben sind $x_1, x_2, \dots$
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- Ausgabe ist $x_0$
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## Primitiv Rekursiv
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Definition:
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- Nullfunktion $null = null(x) = null(x, y) = \dots = 0$
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- Nachfolgerfunktion $succ(n) = n + 1$
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- Projektionen $id(n) = n, id_1(n,m) = n, id_2(n,m) = m, \dots$
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- Kompositionen $f(a, g(b))$ (ohne rekursion)
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+ PR-Aufgebaute Funktionen $f(a, b, c) = g(i(a), j(b))$
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- **Rekursive Aufrufe** sind möglich, z.B.: $r(a, b, c) = r(a-1, b, c)$ (für $a > 0$ )
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+ Dabei gibt es **einen** Basisfall $r(0, b, c) = g(b, c)$ für $a = 0$
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+ und **einen** Rekursionsfall $r(a+1,b,c) = h(r(a, b, c), a, b, c)$ ,
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+ wobei man nur $g$ und $h$ selbst wählen kann, nicht deren Argumente (die sind gegeben wie oben, man kriegt *nur* den
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rekursiven Wert für $r(a-1,b,c)$ in $h$ und sonst keinen! Aber Eingaben dürfen weggelassen werden)
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+ wobei $g$ und $h$ Primitiv Rekursiv sein müssen
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+ *Wir* schreiben beim Rekursionsfall (damit man es nicht so leicht falsch machen kann) $r(a+1, b, c) = \dots$ , wobei nur *ein* $+1$ , und auch *nur* $+1$ , erlaubt ist
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+ Beispiel: $add(0, x) = x, \quad add(y+1, x) = succ(add(y,x))$ ist als PR: $g(x) \; : \; g = id, \quad h(add(y,x), y, x) \; : \; h = succ \circ id_1$
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ES IST SO SKUFFED, MACH IMMER! EIN LOOP PROGRAMM
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## µ-Rekursiv
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Definition wie die der Primitiv Rekursiven Funktionen, aber zusätzlich der $\mu$ Operator:
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$\mu f (a, b, c) = \min \{ n \vert f(n, a, b, c) = 0 \text{ und } f(m, a, b, c) \text{ definiert für alle } m < n \}$ , \
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d.h. probier alle $n \in \mathbb N_0$ in aufsteigender Reihenfolge bis $f(n, \dots) = 0$ , dann return $n$ , sonst keep searching. \
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If $f(n, \dots) \neq 0$ oder $f(n, \dots)$ vor einer $0$ undefiniert ( $\perp$ ), dann ist $\mu f (\dots)$ undefiniert, also $\perp$
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## WHILE / GOTO
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WHILE ist wie LOOP, aber statt LOOP
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mit $\text{WHILE } x_i \neq 0 \text{ DO } P \text{ END}$ .
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GOTO ist wie LOOP, aber statt LOOP
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mit Sprüngen $\text{GOTO } M_i$ und $\text{IF } x_i = c \text{ THEN GOTO } M_i$ , und der Stopanweisung $\text{HALT}$ .
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Man kann jedes WHILE-Programm mit in eines mit nur *einem* WHILE-Loop umschreiben, \
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und jedes GOTO-Programm in eines mit nur einem *Rück*sprung umschreiben.
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µ-Rekursive (= WHILE/GOTO) Funktionen sind *nicht immer* total, können aber total sein.
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## Universelle TM
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Es existieren Universelle TMs, Universelle WHILE- und GOTO-Programme, die jegliches WHILE-/GOTO-Programm ausführen können.
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Das geht mit nur Primitiver Rekursion (z.B. LOOP) **nicht**!
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# Entscheidungsprobleme
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$\exists A, \overline A \subseteq U$ und $x \in U$ .
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Frage: $x \in A$ ? (Wenn nicht, dann $x \in \overline A$ ).
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- Ist $n \in \mathbb N$ gerade? ( $\text{EVEN} \subseteq \mathbb N$ )
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- Ist die aussagenlogische Formel $F$ erfüllbar? ( $\text{SAT} \subseteq$ Menge aller aussagenlogischen Formeln)
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- Halteproblem $H$ : Hält die TM auf der Eingabe $x$ ? ( $H \subseteq$ Menge aller TMs und ihrer Eingaben)
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+ Halteproblem auf dem leeren Band $H_0$ , wie oben nur mit $x =$ leeres Band (ist auch nur semi-entscheidbar)
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## Entscheidbarkeit
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Problem $P$ ist entscheidbar $\iff$ die Charakteristische Funktion $f$ existiert und ist berechenbar,
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mit $f = \begin{cases} 1, & x \in A, 0, & x \in \overline A \end{cases}$
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Entscheidbar $\iff$ Semi-Entscheidbar ( $x \in A \to 1, x \in \overline A \to 0$ oder $\perp$ ) und Co-Semi-Entscheidbar ( $x \in \overline A \to 0, x \in A \to 1$ oder $\perp$ )
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**→ $H$ ist nur Semi-Entscheidbar, nicht Entscheidbar**.
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Gleiches gilt laut **Satz von Rice** für *jegliche* nichttriviale Eigenschaft von Algorithmen (TMs),
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also jedes Entscheidungsproblem \
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$\emptyset \subset A \subset \text{Alle möglichen Turingmaschinen}$ \
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ist *unentscheidbar* (*kann* aber semi-entscheidbar sein).
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<small><small>(bezogen auf Algorithmen, ohne inputs)</small></small>
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## Rekursiv Aufzählbar
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$A$ ist rekursiv aufzählbar, wenn eine totale, berechenbare, *surjektive* (ganz $A$ abgedeckt) Funktion $f : \mathbb N \to A$ existiert.
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## Arithmetische Aussagen
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WA = Wahre Arithmetische Aussagen
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WA ist Unentscheidbar, und auch weder semi- noch co-semi-entscheidbar, da WA Überabzählbar Unendlich ist.
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# Reduktion $ \preceq $
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Seien $A, B \subseteq U$ zwei Entscheidungsprobleme.
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Es ist $A$ auf $B$ reduzierbar, d.h. $A \preceq B$ , falls es eine Reduktion gibt:
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Eine Reduktion ist eine totale, berechenbare Funktion $f : U \to U$ , sodass $x \in A \iff f(x) \in B$
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Falls $A \preceq B$ und $B$ entscheidbar (bzw. (co-)semi-entscheidbar), dann gilt das auch für $A$ .
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$\to$ Wir reduzieren $A$ auf $B$ , $A \preceq B$ , und nehmen dann (mind.) die Entscheidbarkeit von $B$ auch für $A$ an.
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Dabei gilt:
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- $A$ entscheidbar $\iff$ $A$ semi- und co-semi-entscheidbar
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- $A$ semi-entscheidbar $\iff$ $\overline A$ co-semi-entscheidbar
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- aus $A \preceq B$ folgt:
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+ $A$ entscheidbar $\Leftarrow$ B entscheidbar
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+ und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar
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+ $A$ unentscheidbar $\implies$ B unentscheidbar
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+ und das gleiche mit (co-)semi-entscheidbar
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- $A \preceq B \land B \preceq C \implies A \preceq C$
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# PCP und MPCP
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Not really gonna explain what PCP is. \
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We add top to left string, bottom to right string, want them to be equal. \
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MPCP requires that we start with the first pair.
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PCP ist nur semi-entscheidbar.
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Beispiel: $\begin{pmatrix} \text{aa} \\ \text{b} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{bb} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{ba} \\ \text{a} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \text{b} \\ \text{aa} \end{pmatrix}$
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Mögliche Lösungen: 23, 2413, 2323, 232413, $\dots$
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# P und NP
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**P** (Polynomiell) ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer (deterministischen) Turing-Maschine entscheidbaren Probleme.
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**NP** ist die Menge der in Polynomieller Zeit von einer *nicht-deterministischen* Turing-Maschine entscheidbaren Probleme.
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Es gilt $P \subseteq NP$, $P = NP$ ist nicht gezeigt <small>\<insert $n=1 \lor p=0$ joke here\></small>
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**NP-Hart**: Mind. so schwer wie alle Probleme in NP \
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**NP-Vollständig**: Ein Problem ist NP-Vollständig, wenn es NP-Hart ist und in NP liegt
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+———————————————————+
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| +—————+ |
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| NP | P | |
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| +—————+ |
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| +————————————————+—————————+
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| | NP-Vollständig | |
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+——+————————————————+ NP-Hart |
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.+——————————————————————————+
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- SAT ist NP-Vollständig
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## Polyzeit-Reduktion ( $\preceq_p$ )
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Eine Polyzeit-Reduktion ist eine Reduktion, die in polynomieller Zeit berechnet werden kann. \
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<small>(Polyzeit-Reduktion ist für Aufwand/Laufzeit, normale Reduktion ist für Entscheidbarkeit)</small>
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- Wenn $A \preceq_p B$ und $B \in \text{NP}$, dann liegt $A$ auch in $\text{NP}$
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- Wenn $C \preceq_p A$ und $C$ NP-Hart, dann ist $A$ NP-Hart
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# Credits an Matthias
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